이 책의은 미적분을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 함수의 성질들을 공부하는 것이다. 특히, 거듭제곱급수와 삼각급수로 표현되는 함수들의 성질을 이해하는 것이 이 책의 큰 목적이다.
다항함수와 같은 간단한 경우에는 고등학교 수준의 직관적인 이해만으로도 극한의 여러 가지 성질을 다루는 데에 충분하다. 그러나, 삼각급수와 같이 복잡한 극한을 다루려면 보다 정교한 언어와 논리가 필요하게 된다. 이 책의 핵심은 바로 이러한 정교한 언어를 습득하는 것인데, 이러한 언어는 우리가 일상 생활에서 사용하는 언어와 그 구조가 상당히 다르기 때문에 처음 공부하는 학생 입장에서 보면 어려운 것이 당연하다. 그림은 이러한 어려움을 극복하는 좋은 방법이다. 그러나, 좀 더 수준 높은 개념을 다루는 경우에는 그림을 그리는 것이 불가능한 경우도 있으며, 특히 엉성한 그림을 그림으로써 정확한 이해를 하는 데에 오히려 지장을 줄 수도 있다는 점을 염두에 두어야 한다.

차 례

제2개정판 머리말 v

개정판 머리말 vii

초판 머리말 ix

제 1 장 실수의 성질과 수열의 극한 1
1.1 실수의 연산과 순서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 완비성공리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 수열의 극한 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 단조수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 셀수있는 집합과 셀수없는 집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

제 2 장 좌표공간의 위상적 성질 35
2.1 좌표공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 열린집합과 닫힌집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 유계집합과 코시수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 급수의 수렴판정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 옹골집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 연결집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

제 3 장 연속함수의 성질 75
3.1 함수의 극한과 연속성의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 최대최소정리와 사이값정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 고른연속함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 단조함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

제 4 장 미분가능함수의 성질 101
4.1 미분가능성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 평균값정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 테일러 전개 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

제 5 장 리만-스틸체스 적분 119
5.1 리만적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 리만적분가능함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3 미적분의 기본정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 유계변동함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.5 스틸체스적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

제 6 장 함수열 157
6.1 연속함수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2 미분 및 적분가능함수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3 이중수열과 이중급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4 거듭제곱급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 삼각급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.6 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

제 7 장 여러 가지 함수공간 195
7.1 연속함수공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2 수열공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.3 특이적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.4 특이적분가능함수공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

제 8 장 적분으로 정의된 함수 227
8.1 연속성과 미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.2 감마함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.3 적분변환 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.4 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

제 9 장 푸리에급수 249
9.1 푸리에계수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.2 푸리에급수의 점별수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.3 연속함수의 푸리에급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.4 푸리에급수의 미분과 적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.5 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

제 10 장 르벡적분 287
10.1 잴수있는 집합과 측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.2 잴수있는 함수와 적분의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3 적분의 수렴정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.4 르벡적분과 푸리에급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.5 여러 가지 함수공간과 푸리에급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.6 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

부록 수의 체계 327
참고 문헌 337
찾아보기 341